ECUACIONES CUADRÁTICAS 

- FÓRMULA GENERAL
La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:

donde el símbolo "±" indica que los dos valores

y

Ejemplo: 

X² + 2x – 8 = 0      a = 1, b = 2, c = -8 

x = -2 x = -2

 x = -2 ± 6 

          2

X =  -2 + 6     x = -2 - 6 
           2                  2 

  x = 4          x = -8 
        2                  2

x = 2      x = - 4 

FACTORIZACIÓN

FACTORIZAR UN POLINOMIO

Una factorización de un polinomio de grado n es un producto de como mucho  factores o polinomios de grado  con . Así por ejemplo el polinomio P(x) degrado 5 se puede factorizar como producto de un polinomio de grado 3 y un polinomio de grado 2:

NÚMEROS REALES

Los números reales son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero).

Otra clasificación de los números reales puede realizarse entre números algebraicos (un tipo de número complejo) y números trascendentes (un tipo de número irracional).

Ejemplo de números reales 

1. Números naturales: {12345678910…}
2. Números enteros positivos = {1, 2. 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}
3. Números enteros negativos = { -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9}
4. Cero: 0
5. Números fraccionarios: ½, ¼, 14/35, 2/7
6. Números decimales: .25 0.999, 0.625
7. Números racionales: .125 y 1/8, .5 y ½, .85 y 17/20
8. Números irracionales: p = 3.14159265358979323846… (pi); j  = 1.618033988749894848204586834365638117720309… (phi, Número Aureo)

PARES ORDENADOS

PARES ORDENADOS

(x, y) es un par ordenado cualquiera, x ≠ y, en donde x es el primer elemento llamado primera componente y y es el segundo elemento llamado segunda componente.

IMPORTANTE:  (x, y) ≠ (y, x).  Es decir el orden de las componentes no puede ser cambiado.

Estas componentes numéricas, se pueden graficar en los ejes cartesianos o plano cartesiano; la primera componente representa la abscisa y se ubica en el eje x; la segunda componente representa la ordenada y se ubica en el eje y. (x, y).

Álgebra de Conjuntos

La intersección de conjuntos posee también propiedades similares a las operaciones con números:

Propiedad asociativa. La intersección de los conjuntosA y B ∩ C es igual a la intersección de los conjuntos
A ∩ B y C :

Propiedad conmutativa. La intersección de los conjuntos A y B es igual a la intersección de los conjuntosB y A :

Elemento absorbente. La intersección de un conjuntoA con el conjunto vacío ∅ es∅:

Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la conjunción lógica.
En relación con la operación de unión existen unas leyes distributivas:

Propiedad distributiva

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C), y por tanto:A ∪ (A ∩ B) = AA ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C), y por tanto:A ∩ (A ∪ B) = A

Operadores entre conjuntos

Así, por ejemplo, si A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e, i, o }, entonces la diferencia de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén solamente en A, esto es:  

A – B = { b, c, d }

A la derecha, se representa dicha diferencia.*INTERSECCIÓN
La intersección aplicada a los conjuntos A y B da como resultado otro conjunto cuyos elementos son los que pertenecen simultáneamente tanto a A como a B.

En símbolos:
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

Si dos conjuntos no tienen elementos comunes la intersección es vacía. En este caso los conjuntos se llaman disjuntos.

Ejemplo:

Si A = { a, b, c, d, e} y B = { a, e, i, o}, entonces la intersección de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén a la vez en los dos conjuntos, esto es:

A  B = { a, e} 

A la derecha, se representa dicha intersección.

*UNIÓN
La unión aplicada a los conjuntos A y B da como resultado otro conjunto cuyos elementos son los que pertenecen a A o a B a ambos conjuntos.

En símbolos:
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

Ejemplo:

Si A = { a, b, c, d, e} y B = { a, e, i, o}, entonces la unión de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén en alguno de los dos conjuntos, esto es:

A union B = { a, b, c, d, e, i, o} 

A la derecha, se representa dicha unión.

*DIFERENCIA
La diferencia aplicada a dos conjuntos A y B da como resultado otro conjunto cuyos elementos son todos aquellos que pertenecen a A pero no pertenecen a B.

En símbolos:

A - B = { x | x ∈ A ∉ B }

Razonamientos Lógico

Proceso mental que implica la aplicación logica. A partir de estas clase de rozonamientos, se puede partit de una o varias premisas para arribar a una conclusión que puede determinarse como verdadero, falso o posible.

El razonamiento lógico se puede iniciar a partir de una observación (es decir, una experiencia) o de una hipótesis. El proceso mental de análisis puede desarrollarse de distintas maneras y convertirse en un razonamiento inductivo, un razonamiento deductivo, etc. Según la clase de razonamiento empleada, la conclusión tendrá mayor o menor posibilidad de resultar válida.La conclusión encuentra su base en las premisas iniciales: el razonamiento lógico es el camino que vincula ambas partes. El resultado del razonamiento tendrá un cierto grado de probabilidad en cuanto a su veracidad, siempre que los razonamientos lógicos sean válidos.

Ejemplo:

¿Cuál es el menor número de personas que se requiere para que en una familia haya: un abuelo, una abuela, tres hijos, 3 hijas, 2 madres, 2 padres, una suegra, un suegro y una nuera?
A) 9     B)15     C)10    D)12

Desarrollo

Formas Proposicionales

 Se denomina forma proposicionales a las estructuras constituida por variables proporcionales y los operadores lógicos que los relacionan  P constituye una variable proposicional cuando puede representar a una proposición simple o compuestas. 

P4 - IS - 2015 Sheila Loor Y.

Lógica Matemática 

Condición Necesaria.- b y a que nos dice que si se cumple la condición b, entonces resulta inevitable tener como resultado a. 

Ejemplo: 

Si soy Chileno entonces soy Latino  (Verdad)

Condición Suficiente.- Es aquella que cumplirse b implica directamente el cumplimiento de la a. 

Ejemplo: 

Si soy latino entonces soy chileno 

Bicondicional.- «a si y solo si b» es verdadero cuando ambas proposiciones (a y b) tienen el mismo valor de verdad, es decir, ambas son verdaderas o falsas simultáneamente; de lo contrario, es falso. 

Ejemplo:

     a = El numero 2 es par

     b = La suma de 2 mas 2 es 4

                  entonces....

avb = El numero 2 es par o la suma de 2 mas 2 es 4

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